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数学的“构作”及其在教学中的运用(转)  

2016-06-12 15:43:02|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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郑祥旦

(本文发表于《福建教育》2015年第22期)


  R.柯朗和H.罗宾在《数学是什么》一书中指出:“数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、慎密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是:逻辑和直观、分析和”构作”、一般性和个别性。”这里面的“构作”是指什么呢?我在该书中未能找到明确的定义,但有一个大致能说明“构作”含义的例子:“从长度为实数a,b,c,…的任意给定线段出发,连续应用这些简单作图,我们能作出用a,b,c,…构成的有理式(即重复地应用加、减、乘、除)来表示任意量。由a,b,c,…以这种方式得到的所有量构成了一个叫作数域的集合,使得这集合中的两个或多个数经过任意的有理运算后仍然是这个集合中的一个数。”经检索,“构作”的英文单词“consteuction”,具有“建设、建造、解释”的意思。在小学数学中,“构作”的作用可以是构建某一知识的论域(论域,是在一定文句或对话中涉及到的客观事物,即论题所包括的同类事物的总和)。

  在教材中,我们总能找到可以“构作”的习题。例如:算一算。①6÷6,5÷5,4÷4;②2÷1,3÷1,6÷1。你能写出几道像上面这样的算式吗?你发现了什么?(人教版二年级下册第20页第4题)。练习时,教师可以从已有的数学事实发出,让学生模仿“构作”,续写题组①的算式。如3÷3=1,2÷2=1,1÷1=1,7÷7,8÷8,9÷9,10÷10,…。在“构作”的过程中,学生会发现(也即归纳):a÷a=1(a≠0,用语言表达,即同数相除,商是1)。教师接着让学生续写题组②:5÷1=5,4÷1=4,1÷1=1,7÷1,8÷1,9÷1,10÷1,…。学生会发现:任意数除1,得任意数。一言蔽之,就是“构作”一些同类算式再归纳出数学结论。像这样的内容,教学时还会经常遇到,大家可以细心地去发现。

  更重要的是,我们应该运用“构作”来组织能反映数学知识形成过程的教学活动。《义务教育数学课程(2011年版)》认为,学生学习不是单纯的模仿、练习和记忆,需要展现“知识背景-知识形成-提示联系”的过程。这样才能激发学生的学习兴趣,理解数学实质,发展思考能力,了解知识之间的关联。弗赖登塔尔认为,“数学的根源在于普通的常识”。在教学时,学生要如何获得“普通的常识”,又如何生成数学知识?那就是让他们自己去“构作”数学。通过”构作”数学,学生自主去创造同类的事物,积累丰富的数学知识、经验和方法,进而形成“数学现实”,成为进一步学习数学的素材。学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等,感悟知识的形成和应用,这对于他们理解数学知识与方法、形成良好的数学习惯、增强应用意识、增高解决问题的能力有着重要的作用。

  下文以人教版二年级下册《余数和除数的关系》的教学为例。

  环节一:“构作”除数是4的除法算式

  教师可让孩子分别拿出8根、9根、10根、11根、12根小棒,分别摆正方形,口述摆出的结果,并写出相应的算式。如,8根小棒,摆2个,算式表示是8÷4=2(个);9根小棒,摆2个,剩下1根,算式表示是9÷4=2(个)……1(根);10根小棒,摆2个,剩下2根,算式表示是10÷4=2(个)……2(根);11根小棒,摆2个,剩下3根,算式表示是11÷4=2(个)……3(根);12根小棒,摆2个,剩下4根,算式表示是12÷4=2(个)……4(根)。这时,学生可能表示反对。因为剩下4根,也可以摆一个正方形。所以,12根小棒可以摆3个,算式表示是12÷4=3(个)。

  接着,教师可以让学生想像:小棒1根1根地不断增加,摆正方形的情况会有什么变化?摆3个后,继续写算式表示剩下1根、2根、3根;摆4个后,又写算式表示剩下1根、2根、3根;摆5个后,再写算式剩下1根、2根、3根……余数总是有规律地出现。所以,除数是4,余数可能是1、2、3;3<4,2<4,1<4,即余数<4。

   [反思:教师让学生“构作”了一些除数是4的除法算式,它们的商分别是2、3、4、5,而余数总是按“没有余数、1、2、3、4”的顺序有规律地重复出现。学生所“构作”出来的除法算式既成为认识“余数<4”的素材,又为归纳数学结论提供了可靠的依据。有效的数学教学应该经常地要求学生“探索简单情境下的变化规律”,探索规律实际上就是培养学生的“模式化”思想,发现“规律”就是发现了一个“模式”。(刘加霞主编.《小学数学课堂的有效教学》.北京:北京师范大学出版社.2008:209。)通过数学的“构作”,学生自己创造出一类可供分析、归纳的数学事实。]

  环节二:“构作”除数是5的除法算式

  教师让学生用一堆小棒摆五边形,写出相应的算式。用5根小棒正好摆1个;用6根摆1个剩1根;接着剩2根、剩3根、剩4根。这时,教师可问:“可以剩5根吗?”经历过环节一,学生很容易就会发现:除数是5,余数可能是1、2、3、4,即余数<5。

  环节三:“构作”除数是3的除法算式

  教师让学生用一堆小棒摆三角形,写出相应的算式。学生也很容易就会得出:除数是3,余数可能是1、2,即余数<3。

  环节四:“构作”除数是任何数的除法算式,推论与总结

  教师可要求学生自己再写出一个除数是任意数的除法算式,推想出它的余数可能是多少。

  最后,教师引导学生按顺序排列上述的除法算式,观察除数是3、4、5、…的除法算式,学生就会进一步归纳:余数<除数。

  [反思:教师让学生运用“除数是4的除法算式”的方法,继续”构作”出除数是5、除数是3乃至除数为任意数的除法算式,这些除数不同的除法算式组成了一个内容更丰富的素材群,为归纳和总结数学结论提供广泛的知识背景。]

  至此,这节课似乎可以结束了。然而,在实际教学中,我们又经常发现:有的学生对“余数<除数”的运用存在困难,特别是在试商方面的困难,在很大程度上防碍了学生除法的学习。为此,我继续进行这样的一个教学环节。

  环节五:在“构作”的除法算式中探索用口诀求商的适用范围

  我让学生观察环节一中除法算式的商,想一想:计算这些算式用了哪些乘法口诀?引导学生在除数是4的除法算式中发现:被除数是8、9、10、11的,都是用二四得八求商。接着,又让学生在百数表中系统地指出(除数是4)二四得八求商的适用区间(即被除数是8、9、10、11)及其他剩余的每一句口诀求商的适用区间。最后,继续在百数表中系统地指出用任意一句乘法口诀求商的适用区间。

       小结:一句乘法口诀,不仅可以用来求对应数的商(整除),还可以用来求对应区间数的商(有余数的除法),如四五二十,可以求20÷4和20÷5的商,也可以求21(22、23)÷4和21(22、23、24)÷5的商。

  [反思:试商通常被认为是学习除法的难点。在这里,教师用学生已“构作”的有余数除法算式,让他们在发现“余数与除数”关系的同时,知道用某句乘法口诀求商总有一个适用的区间。一般地,学生只会用乘法口诀中的各数直接求商,如三五十五,只会求15÷3=5和15÷5=3,对于16÷5没有相对应的乘法口诀直接可用,他就会感到困难。而能直接用口诀求商的被除数只有36个数,因而有些学生学不好除法是在所难免的。在学习有余数的除法时,还有一个重要的任务,那就是要扩展用乘法口诀求商的适用范围,如4~39中的任意数除以4,都可用4的乘法口诀求商。学生”构作”了如除数是4的所有除法算式,他就发现了每一句乘法口诀求商的适用区间,再用套区间的方法就能在整除和有余数除之间快速地找到正确的联系,从而提高用乘法口诀求商的水平,降低学习除法的难度。]

  从该课例可看出:这与一般的“新授—练习”的教学方式有很大的不同。其中,环节二、环节三是由教材的“做一做”改造而成,环节四是根据教学实际新增的内容。这样的设计前置了原先教学中的练习内容,延迟了数学结论的概括得出,有助于学生的学习。“道生一,一生二,二生三,三生万物”,这样让学生自己充分地去“构作”学习所需的数学事实,不仅有利于学生理解所学知识的内涵,更好地揭示相关数学知识之间的内在关联,还有利于学生从整体上理解数学,构建数学认知结构,积累基本数学活动经验。

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