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青浦经验:数学活动经验的教育表达(转)  

2017-10-12 09:51:45|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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转自小逍遥_24461的博客 http://blog.sina.com.cn/u/5248801429

 

摘   要:数学的本质是有一套提出问题、解决问题的思想和方法.人们的数学活动经验是在做数学的过程形成的.真正的数学教学理论的本质是数学活动经验的教育表达.青浦经验的4条原理(情意原理、序进原理、活动原理、反馈原理)在教学实践中经受了时间检验的原因是从教育的侧面反映了数学知识的发生、发展和应用的规律.

关键词:青浦经验;数学活动经验;教育理论;和谐

 

1、引言

早在十几年以前,青浦就已筛选有效的教学经验形成了经验系统,这个经验系统经受了科学论证和实践的双重检验.以此为基础,学习和借鉴有关教学理论和认知科学理论,构筑了让所有学生有效学习的4条基本原理:情意原理、序进原理、活动原理和反馈原理.正确解读这4条教学原理,有助于树立正确的数学观、教学观、学习观、学生观,有助于厘清各种数学教育理论的实质,从而有助于指导教学过程各环节的有效设计,不断优化课堂教学,实施有效的教学.有效教学隐含的假设之一是“教学的转变首要的是教师理念的转变”.教学是一门科学,它讲求遵循规律;教学是一门艺术,它体现以人为本.在教学上要真正树立以人为本的理念,先得阐明教学的科学本质.陶行知提出“教学做合一”,以“事”为中心,主张事怎样做便怎样学,怎样学便怎样做.他指出“不是教人,不是教人学,乃是教人学做事”,这就把教师的教和学生的学都统一在了“做”上,认为在“做上教的是先生,在做上学的是学生”,“不在做上用功夫,教固不成教,学也不成学”.数学也是“做”出来的.青浦经验的4条教育原理不仅拟合了“做”数学的活动经验,也深化了“做中学”的内涵.在“做”数学的过程中,人们获得了数学基本活动经验,从而也获得了在活动过程中产生的基本数学知识、数学基本技能和数学基本思想.技能、思想的载体是知识.数学知识的表现形式有原始形态、学术形态和教育形态_4J.从数学的学术形态到教育形态,不仅弱化了数学的抽象性、逻辑性和形式化水平,而且还在相当程度上滤去了数学知识发展的脉络走向及相互间的广泛联系.在教学时很容易产生“教学法的颠倒”现象.在教学过程中,参考数学知识的原始形态,获得发现数学真理、数学思考的活动经验不仅是发生教学法的重要主张,而且能避免上述现象.数学教育理论作为指导人们更有效地教学数学的理论应该反映“做”数学的本来面目,反映数学的本性,在教育和数学之间建立起一座沟通之桥.

2、解读

“做”出来的数学知识在发展过程中的呈现方式是经验知识、公理系统和形式系统,其中经验知识包括建立数学模型和应用数学知识求解数学模型.

  我们简要描述一下数学知识的发生、发展及形成过程.按辩证唯物主义认识论的观点,思想只能来源于现实世界,但不是原原本本复制现实世界,需要经过一定的加工、抽象.数学研究的是形式化、数量化的思想材料(研究对象),这种思想材料的获取过程,实际上就是对现实研究对象的建模.将现实问题数学化形成本原性的数学问题能极大地推动数学的发展.所以哈尔莫斯说:“问题是数学的心脏.”数学模型是用数学、拉丁字母、希腊字母以及其它符号来抽象描述和体现现实原型的各种因素形式及数量关系的一种数学结构.模式的形成是对具有现实原型背景的数学模型进一步简化或一般化、形式化、精确化之后,从中分离出来的数学对象的关系、性质或规律的结构化抽象物.模式通常表现为概念、定律、定理、公式、算法以及图表等.这时的知识经受了实践的检验,能解决实际问题,但还缺乏系统性和严密性,是经验知识,有待于通过公理化方法把它构造成一个公理系统,上升为理论形态.对具有直观内容的公理系统用形式化方法抽象成没有内容的、纯形式的演绎系统,即形式化了的公理系统.知识的生成并不是一帆风顺的,每一个知识后面都浸润了数学家的心血和汗水,每一个知识后面都有许多鲜活的故事.

作为教育任务的数学,只能模拟上述过程,而不能照搬上述过程.所以,弗赖登塔尔认为,数学作为人类的一种活动,它的主要特征就是数学化,数学学习的过程就是数学化的过程,与其说学习数学,不如说学习数学化.前苏联数学家斯托利亚尔也认为“数学教学应该是数学活动的教学”,指出数学活动包括“经验材料的数学化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用化”3个方面.

数学家是按研究的视角生成、组织、构建某一领域的知识的.在考虑顾及学生的心理发展状态的前提下,有效的教学应充分拟合这一过程,从而最终学会数学家看问题的方式、思考方式,具有数学的眼光.数学家对未知世界具有强烈的好奇心,常能提出问题,在解决问题的过程中虽遭遇困难却也百折不挠.情意原理深谙此道.良好的情意状态是认知发展的动力系统.孔子早就指出:“知之者不如好之者,好之者不如乐之者.”或创设情境问题、或提出逻辑脉络上的问题,都能形成认知冲突,激发求知欲,激活思维,激发“火热的思考”.数学家因高度的好奇心产生问题,但在教学上却要以问题驱动而产生求知热情.不管方式手段如何,都属于知识产生的第一阶段一一提出问题.知识始于问题,同时做到了以学生为本.

数学家通过抽象化、理想化、数学化的过程把现实问题简化成数学问题.在解决数学问题的过程中充分体现了数学的双重性:数学既是归纳体系又是演绎体系,既是实验科学又是证明科学.借助观察、试验、归纳、类比、推广、限定以及概括经验事实使之一般化和抽象化等一套自然科学常用的探索方法,形成猜想或假设,利用已有的知识体系检验或证明,演绎出问题的结论,并从中获得新概念、新定理、新法则及新的数学思想方法,丰富原有的知识体系.活动原理恰好体现了数学的双重性特征.既是实验科学,必然要有行为活动,要重视学习者的用眼观察、动口陈述和亲身感受在实验中的作用,但又不能停留在感性操作的层面上,还要深入到理性操作的层面,即通过开展尝试探究等认知活动在“做中学”;既是演绎体系,的确可以脱离现实内容,在一个自给自足的系统里运行,从“书中学”也是可以的,但这违反了发生认识论.皮亚杰指出,人的认识的形成,最初起中介作用的并不是知觉而是可塑性要大得多的活动本身.活动原理认为行为结构与心理结构同源同构,行为活动与认知活动可以合理结合、相互转化.活动原理用教育术语阐述了数学双重性特征.

形式化是数学的重要特征.形式化有助于数学理论体系的简单化、严格化和系统化.数学的形式化包括符号化、逻辑化和公理化3个层面.作为学术形态的数学应尽可能公理化、形式化为演绎体系,但对作为教育形态的数学却大可不必如此,生动活泼的数学内涵不能淹没在形式主义的海洋里,只须适度形式化.公理化、形式化说白了不过是编织知识体系的方法,使知识成系统、有结构、前后井然有序.序进原理乃是这种思想的体现.它反映了数学知识连贯性、有序性、条理性.这要求我们在教学中要善于组织知识序列,使知识前挂后靠、环环相扣,以核心知识为联结点,构建知识网络,建立知识的多元联系表征,使学生能遵循一定的脉络,自行推导、梳理已学的知识.处于网络化、序列化体系中的知识能抵制遗忘,有益于知识的获得、保持和应用.数学源于现实.构建完美的公理化、形式化的理论体系并不是数学的初衷.数学最终要回到实践中,接受实践的检验并解决实际问题.数学理论在这样循环往复的过程中,经受实践的反馈与调节作用,不断修正完善,更加逼真地反映客观现实.类似地,对数学教学而言,学生获得的数学知识在多大程度上具有保真性,认识的深刻程度的达成度如何,都必须经过解题实践的检验、矫正.由于数学知识的逻辑严谨性,前后知识联系紧密,断裂的逻辑思维会阻碍知识的进一步获取.强调反馈、调节更有必要.反馈信息要注重差异,调节则要有意识地采取分化性措施.不断变化的、有层次、有重点的变式问题,为学生提供了合适的变异空间.循序渐进地解决一系列的变式问题,有助于多角度地理解概念的本质和建立本质的联系,形成比较系统的数学知识模块.

教学规律应遵循数学规律.4条教学原理从教育的侧面反映了数学知识的发生、发展和应用的规律.在上述问题提出一问题分析一问题解决的思维流程中,数学的思想方法如一条红线贯穿其中,促成了知识的产生,最后又凝聚在知识中.按照数学活动方式学习数学,数学思想、方法、技能、知识的获得显得顺理成章,学生获得的也不仅仅是知识,还有知识背后的数学活动经验.真正的数学教育理论必然要体现数学发展环节和发展过程的辩证统一,认识结果与认识过程的辩证统一.

3、课例

30年来,青浦的教学质量稳步提升,青浦教师的教学理念发生了深刻变化,课堂教学设计也很好地体现了4条教学原理,抓住了数学的本质.我们剖析“无穷等比数列各项和”的教学设计.该课由青浦朱家角中学一位从学校毕业不久的年轻女教师执教,青浦教师进修学校摄制.我们反复观看了课堂教学录像带,并和执教教师进行了座谈,了解了教师的设计意图.

教师采用芝诺悖论“追龟说”引出课题.在座谈之前,笔者认为这样处理不妥,就问她为什么不使用《庄子·天下篇》里的辩题“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例子,而采用一个千年悖论.教师说“一尺之棰”的例子在本章教学之初就用了,再用这个例子可能激不起学生的兴趣,而采用芝诺悖论有两点好处:一是历史上,17世纪比利时的数学家圣文森特利用无穷等比数列级数解决了芝诺悖论后,无穷等比数列的求和问题才渐渐为人们所熟悉;二是悖论比“一尺之棰”的例子更容易激起学生的兴趣.在课堂实录的录像带上,也的确如此.数学不总是好玩的,情意原理的根本出发点是“以情意促认知”,调动学生的学习激情的根本目的在于更好地完成认知任务,变“苦学”为“乐学”,但落脚点还是在学.

教师创设情景问题后,学生开始了自由探究活动.中学生的思维灵活、少束缚,很多学生用算术方法就得出了芝诺在何处就能追上乌龟.直观结果与芝诺的认知方式产生了强烈反差,再次激起学生的强烈兴趣,教师充分“利用课堂生成资源”,顺势一转,“如果按芝诺的思维方式,我们也能得出这个结论吗?”教师引导学生抓住路程相等这个因素,让学生用等比数列把两者的路程表示出来.无穷数列求和对学生来说显然是一道“坎”.历史上阿基米德在求解弓形的面积时,得到数列l,1/4 ,(1/4)^2   ,…,(1/4)^n  ,…,阿基米德虽然清楚这个数列无穷项之和是那样地接近4/3 ,但还没有使用对等比数列前n项和取极限的方法,也没有大胆地去定义无穷数列的和.原因很简单,阿基米德的思想仍被古希腊关于无限的疑难所限制.苦于没有极限概念,人们在很长一段时间不能跨越无限.由认知的历史相似性原理,这些困扰智者的困惑也是学生的困惑,是知识建构过程中的难点、关键.现在的学生已经接触了一点数列极限的概念,教师以此为基础帮助学生跨过了这道“坎”.教师试着让学生对数列前项和取极限,结果显示了此方法的合理性.无穷虽然是一个很难跨越的概念,对无穷多项求和还涉及到和存在与否的问题,但教师按序进原理,把已有的取极限方法用之于新问题,并接受实践的检验,引导学生尝试、探索,创造性地解决了问题,表明了方法的合理性,表现出大胆探索的一面,并没有追求理论上的完备,这也符合数学的发展规律.教师接着把上述问题一般化、形式化后让学生自行经历分类讨论、分析综合的探索活动,完成了公式的推导、概念的形成,方法也形成了模式.这和历史的进程是一致的.直到16世纪,韦达将等比数列公式加以推广,得到了无穷等比数列的求和公式.

公式发现、推导完成之后,由反馈原理就要组织有层次的训练了.教师以变式的方式有序地组织了例题安排.先以三角形为背景,依次取三角形各边的中点形成三角形,如此下去,形成一系列三角形,并求这一系列三角形面积之和.然后以正方形为背景,依次取正方形各边的中点形成正方形,如此下去,形成一系列正方形,并求这一系列正方形面积之和.虽然教师基本上让学生独立、自主地解决了上述问题,但还可以对活动原理进一步运用.教师完全可以让学生编题、解题,这对活跃学生思维,让学生充分表达自己的观点和意见应是一条可以尝试的路子.

4条教学原理彼此联系、浑然一体,在教学设计的每一个环节要同时考虑这4条原理,但要有侧重.用4条原理统率教学设计,数学教学的图景就会变得清晰而美丽.

4、认识

学科教育是教育学里最薄弱的学科.中国的学科教育很少能进入教育家和教育领导部门的视野.相对而言,数学教育是所有学科教育里发展得较好的学科.然而,数学教育的处境也很尴尬.近年来,数学教育学科中“去数学化”的倾向相当严重.在大量冠以“数学”头衔的议论中,人们很难发现其与数学之间的关系.因而很多中学数学教师不断抱怨,他们很难从这些“数学教育”的研究中,获得与“数学”教育相关的营养.在教学实践中,只问数学内容的呈现方式,不问数学本质的揭示,数学教学流于表面的热闹和浅薄,数学的科学性在流失的现象决非鲜见.数学教育理论研究不能仅仅以一般理论的“上位”知识为依归,数学教育理论要能指导数学教学实践中的问题.数学教育中大量的研究问题都是许多数学本身的特点造成的.只是一般地阐述教育原理,不追究研究问题中的数学活动经验的本质,只能使其成为空洞的说教,而无实际意义,是一种“范式的缺失”.一般的教育理论的确能改变教师的教学理念,起到战略定向的作用.然而学科教育是一门实践性很强性的学问,是要解决学科教学中的特有问题的,许多战术性问题的解决离不开对学科本质的把握.因此,在进行数学教育理论探索时,必须紧紧抓住“数学”教育来进行研究,力图使之区别于一般的理论;但是它毕竟又是数学“教育”,因而,这种研究是以一种“教育”的话语而不是以数学的话语来阐述的,否则它是数学而不是教育.真正的数学教育理论揭示了数学活动经验的实质、特点,又有教育理论的厚重,在数学和教育之间实现了“双向建构”,实现了数学与教育的和谐.在数学教育理论中,不乏这样的例子.如“变式教学”、“淡化形式,注重实质”等理论.在数学研究中,力图获得一般性的结论是数学家所喜欢做的事之一,没有一个数学家不对已取得的成果不作些引申、推广.引申推广是“做”数学的方法之一.马顿从教育的角度指出变异是学习的基础,没有变异就不需要辨别,而学习又是源于辨别的.“变式教学”是数学中的引申、推广在教学中的诉求,是用教育的术语表达的数学活动经验,是数学活动与教育理论的一种“双向建构”.“淡化形式,注重实质”也是如此.正如马克思指出的那样:“理论只要说服人,就能掌握群众;而理论只要彻底,就能说服人.所谓彻底,就是抓住事物的根本.”青浦经验的4条教育原理正是拟经验主义数学观的反映,是用教育的术语反映了“做”数学的活动经验的本质,既有数学味道,又有教育理论的厚重.数学和教育可以和谐相处,“扣其两端而执其中”,定能构建真正的数学教育的理论体系.

 

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